1つのさいころを5回続けて投げるとき,3の倍数の目がちょうど3回出る確率を求めよ。

解答・・・？

問題を整理すると、$1$ 個のさいころを $5$ 回繰り返し投げるときに
$3$ の倍数の目が $2$ 回でて、$3$ の倍数以外の目が $3$ 回でる確率を求めればよい。
よって、
$(\frac{2}{6})^2 \times (1 - \frac{2}{6})^3$ = $(\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^3$ = $\frac{8}{243}$

不正解の理由

$5$ つの「さいころを $1$ 回投げる」という試行はそれぞれ独立であるため、
それぞれの確率を掛け算して答えを導出するという考え方までは正解である。

上記では、全 $5$ 回の内の何番目に $3$ の倍数の目が出るのかという
パターンを考慮できていない。

$5$ 回の内から $2$ 回を選ぶ場合の数だけ
「$1$ 個のさいころを $5$ 回繰り返し投げるときに
$3$ の倍数の目が $2$ 回でて、$3$ の倍数以外の目が $3$ 回出る」
という事象が成り立つパターンがあることに
気が付けていたかが今回のポイントである。
※例えば、$1$ 回目と $2$ 回目が $3$ の倍数の目が出るパターンがある。

$n$ 回の内から $m$ 回を選ぶ場合の数にピンときただろうか。
つまり、$_n C_m$ を利用する！

解答

問題を整理すると、$1$ 個のさいころを $5$ 回繰り返し投げるときに
$3$ の倍数の目が $2$ 回でて、$3$ の倍数以外の目が $3$ 回でる確率を求めればよい。
よって、
$_5 C_2 \times ( \frac{2}{6})^2 \times (1 - \frac{2}{6})^3$ = $\frac{5 \times 4}{2!} \times ( \frac{1}{3})^2 \times ( \frac{2}{3})^3$ = $\frac{80}{243}$